IntuÔtie in de mathematische natuurwetenschap

 

A.E. Vlug

 

  

 

1.Samenvatting

 

Elke tijd heeft haar eigen historische situatie, een eigen betrokkenheid op de wereld en een eigen begrip van waarheid. Naast aandacht voor deze veranderlijkheden is er ook een voortdurend streven van de mens om te zoeken naar het onveranderlijke. Plato poogde de eeuwige werkelijkheid die zijn ziel voor de geboorte als Goddelijke IdeeŽn geschouwd had in herinnering te brengen. De natuur was voor hem minder interessant, omdat zij slechts een afschaduwing was van de werkelijkheid der IdeeŽn. Zijn leerling Aristoteles onderzocht daarentegen de natuur zorgvuldig, in de overtuiging dat het onveranderlijke, als het wezen der dingen, juist in de dingen zelf aanwezig is. Vele eeuwen later, aan het eind van de middeleeuwen debatteerde men over de vraag of de algemene begrippen die het wezen van iets aanduiden, aanwezig zijn vÚÚrdat de dingen ontstaan, of juist alleen Ūn de dingen aanwezig zijn, of dat ze daarentegen slechts nŠ waarneming met het verstand afleidbaar zijn. Het debat eindigde onbeslist: de drie opvattingen waren alle op een bepaalde manier juist. Weer vele eeuwen later, in het begin van de 20e eeuw, vroegen de wetenschappers zich af of de algemene begrippen die met het verstand worden opgesteld slechts instrumenten zijn om de natuur naar onze hand te zetten, of dat ze het wezenlijke van de dingen beschrijven, ja wellicht inzicht geven in een goddelijke architectuur van de kosmos. De geweldige toename in kennis lijkt het begrijpen van de wereld dichterbij gebracht te hebben, maar wanneer de balans wordt opgemaakt is er een onverklaarbaar gevoel van vervreemding. Het lijkt alsof de dingen juist meer en meer onkenbaar zijn geworden. De relevantie van wetenschappelijke kennis voor het juist verstaan van de werkelijkheid staat ter discussie.

 

Dit artikel bevat een grove schets van de veranderende (opvatting over de) verhouding tussen de wezenlijke en de waarneembare werkelijkheid en het wordt afgesloten met de inzichten van de fysicus Einstein en van de mathematicus Brouwer. De gedachten van deze twee grote wetenschappers, die aan het begin van de 20e eeuw een ware revolutie in hun vakgebied ontketenden, worden geÔnterpreteerd in het licht van het eeuwenoude debat over de relatie tussen wetenschappelijke kennis en het wezen der dingen. De gerichtheid van Einstein op de volmaakte eenvoud der natuur die in het denken openbaar wordt, richt eerst onze aandacht van de zichtbare wereld buiten ons naar de kenbare binnen in ons. De wetenschap van de natuur stimuleert dit loskomen van de waarneming bij de schepping van een theorie. Wetenschappelijke theorieŽn worden door Einstein gebracht onder eenzelfde criterium als de kunst, namelijk dat van de 'schoonheid'. De gerichtheid van Brouwer op het leven, wijst vervolgens op een onderscheid tussen schone creaties in het hoofd en daadwerkelijk realiseerbare gedachten. Het beoefenen van de intuÔtieve wiskunde kan ons leren onderscheid te maken tussen waarheid en illusie.

 

 

 

2.Aanleiding

 

Van 19 tot 25 september in het jaar 1920, net na de Eerste Wereldoorlog maar al in de voelbare dreiging van de Tweede, vond in Bad Nauheim een congres plaats van de 'Gesellschaft der deutschen Naturforscher und ńrzte'. Professor Albert Einstein was uitgenodigd om in een scherp debat zijn relativiteitstheorie te verdedigen. Zijn grootste opponent was professor Lenard, die in 1905 de Nobelprijs had gewonnen. Merkwaardigerwijs was Lenard lange tijd een groot vereerder geweest van Einstein, aangezien de raadselachtige resultaten van Lenards experimenten door Einstein verklaard werden met de theorie van de licht-quanta. De nederlaag van Duitsland in de oorlog kon Lenard echter moeilijk verkroppen. De pacifisten en de joden kregen de schuld en een goed gefinancierde hetze werd tegen Einstein opgezet. De relativiteitstheorie was joods of communistisch, in ieder geval vergif voor zuivere Duitse wetenschap. Het debat was fel, maar de fysicus Max Planck wist als goed ingelicht voorzitter persoonlijk onheil te voorkomen. Ondanks de politieke en racistische kleuring van het debat ging de strijd inhoudelijk om niets minder dan de nieuwe fundamenten van de fysica.20

 

Ook de Nederlandse professor Bertus Brouwer was uitgenodigd om op het congres te spreken. Men had ingezien dat zijn gedachten de diepste gronden van de wiskunde beroerden. Nu had Brouwer ook een uitnodiging ontvangen om op het internationale congres in Straatsburg te spreken, maar op dat congres waren de Duitsers door de overwinnaars uitgesloten van deelname en dat streed met Brouwers gevoel voor wetenschappelijke onpartijdigheid. De strijd die hij voerde lag op een ander plan dan de politieke wisselvalligheden tussen bepaalde volkeren. Hij verkoos daarom het Duitse Bad Nauheim boven Straatsburg. Zo kwam het dat op het congres in Bad Nauheim, waar Einstein de fundamenten van de toenmalige natuurkunde ter discussie stelde, tevens de fundamenten van de wiskunde werden bekritiseerd. In een heldere lezing met als titel: 'Heeft elk reŽel getal een decimale ontwikkeling?' daagde Brouwer de toenmalige autoriteit David Hilbert uit om de fundamenten van het wiskundig bouwwerk opnieuw te formuleren. Hilbert gold al jaren als de ongekroonde koning van de moderne wiskunde. Verschillende keren had hij de wiskundige wereld verrast met indrukwekkende bewijzen en nieuwe theorieŽn. In GŲttingen had hij een groep begaafde en enthousiaste wiskundigen bijeengebracht en hij stimuleerde hen op uiteenlopende gebieden. Op een internationaal congres in Parijs had hij in 1900 de beroemd geworden lijst van 'Mathematische Probleme' aan de wiskundige wereld voorgelegd. Ook had hij een eigen 'Program' opgesteld om aan deze problemen te werken. Tijdens zijn vakanties in Scheveningen leerde hij Brouwer persoonlijk kennen. Tussen beide genieŽn bestond al vanaf het begin in 1909 een wederzijdse bewondering en 10 jaar later leidde deze tot een uitnodiging van Hilbert aan Brouwer om een professoraat in GŲttingen te gaan bekleden. Brouwer bleef echter in Amsterdam en van daar uit reisde hij naar het congres in Bad Nauheim. Op het congres bekritiseerde Brouwer openlijk en in brede kring de fundamenten van de bestaande wiskunde. Hilbert trok zich dit zeer aan, vooral toen zijn beste leerling Hermann Weyl in een briljante rede partij had gekozen voor Brouwer met de woorden: "Brouwer, das ist die Revolution".28 De grondslagenstrijd in de wiskunde was hiermee geopend.

 

 

 

3.Het effect van de grondslagencrisis op ons beeld van de wereld

 

Het wereldbeeld

De filosoof Heidegger heeft er op gewezen dat we leven in de tijd van het wereldbeeld. We beleven datgene wat ons nabij is niet meer direct, maar maken er een voorstelling van. De aarde is niet meer de vertrouwde akker die ons draagt en te eten geeft, maar een stuk grond dat voor ons ligt en dat naar onze voorstelling zoveel mogelijk moet opbrengen. Het wereldbeeld is het subjectieve beeld van de wereld zoals men het zich voorstelt. Dit wereldbeeld, dat men reeds een aantal eeuwen traditiegetrouw overneemt, is geworteld in de wis- en natuurkundige beschouwingen van de zeventiende eeuw. Het 'cogito ergo sum' van Descartes geeft bijvoorbeeld aan dat het denken niet meer een vernemen is van de dingen zelf, maar een cogitare, een stellen om te be-grijpen.18 Men maakt als het ware een foto van de dingen en stelt die voor zich. Van een foto kan men zeker zijn. Een unieke situatie wordt vastgelegd in een beeld en dat beeld is vast te pakken en zo wordt de situatie voorgesteld. Met deze aanpak wordt het onbekende berekenbaar.  

 

Het oneindige bijvoorbeeld, waar men altijd een zekere vrees voor had, wordt in de zeventiende eeuw berekenbaar. Men gaat zich een oneindige reeks voorstellen als een deling. En de aarde wordt langzamerhand door iedereen voorgesteld als een bol. De processen die in de wereld verlopen worden door de mechanica van Newton voorgesteld als een machinaal gebeuren. De zwaartekracht van Newton werd door Huygens weliswaar beschouwd als een vreemde aanname in de toenemende mechanisering van het wereldbeeld, maar de zwaartekracht was goed voor te stellen. Nog steeds is het gemakkelijk voor te stellen dat een appel valt door de wederzijdse aantrekking van de aarde en de appel, dat de getijden van het water begrepen kunnen worden door een aantrekking te veronderstellen tussen de maan en het water en dat zelfs de planeten in hun banen worden gehouden door de inwerking van dit universeel krachtenspel. Het natuurkundig begrip van ruimte, tijd en beweging geeft een idee van het heelal: hoe het in elkaar zit, hoe het ontstaan is en wat onze plaats daarin is. Zo verschaft de wetenschap ons een beeld waarmee we de wereld kunnen voorstellen. Zo belangrijk is dus ook voor niet-wetenschappers de wis- en natuurkunde.

 

Een grondslagencrisis in het fysisch wereldbeeld

Naarmate de wetenschap vorderde nam de macht van de voorstelling toe. In het begin van de negentiende eeuw formuleerde de natuurkundige Laplace zijn ideaal: een intelligent wezen dat op elk moment alle krachten in de natuur kent en ook alle posities van alle dingen waaruit het heelal bestaat, zou in staat moeten zijn om de bewegingen van de grootste lichamen en die van de kleinste atomen in ťťn enkele formule weer te geven. Vooropgesteld dat dit wezen ook in staat zou zijn alle gegevens te analyseren, dan zou niets voor hem onzeker zijn. De toekomst en het verleden zouden voor hem berekenbaar zijn.5 De verwezenlijking van dit ideaal is echter onmogelijk gebleken. In 1927 gaf Heisenberg met zijn onzekerheidsrelaties aan dat het volgens de quantummechanica principieel onmogelijk is om met willekeurige zekerheid zowel de plaats als de impuls van ťťn deeltje te weten te komen.12 In de huidige fysische theorie is 'onkenbaarheid' niet langer een verlegenheid van de wetenschapper, maar een fundamentele eigenschap van de natuur. Het berekenbare is onkenbaar geworden.  

 

Het gaat hier niet om een 'ignoramus' (wij weten niet), maar om een 'ignorabimus' (wij zullen niet weten). Een jaar eerder, in 1926, was een zo mogelijk nog grotere stap gezet. Alle experimenten wezen ontegenzeggelijk op een dubbel karakter van de dingen: materie kan worden berekend alsof het straling is (bijvoorbeeld licht) en straling alsof het materie is. Voor ťťn enkel deeltje is dit echter niet voor te stellen. Een elementair deeltje met golfkarakter is letterlijk onvoorstelbaar. De stap die men toen gezet heeft was de volgende: men wachtte niet op het moment waarop men de resultaten van de theorie kon voorstellen, maar men ging een wiskundige beschrijving opstellen waarmee men in staat zou zijn de resultaten van nieuwe experimenten te voorspellen. De SchrŲdinger golfvergelijking was een van de eerste resultaten. Het was een groot succes, maar men had ondertussen als wetenschapper wel moeten toegegeven dat de natuurkundige theorie niet meer de dingen zelf voorstelt, maar slechts de waarschijnlijkheid van hun optreden.16 Voor de fysica als vak is hiermee weinig verloren: de theorieŽn zijn even hard berekenbaar als voorheen. Voor de fysica als grondslag voor een wereldbeeld is echter geen ruimte meer. De tegenwoordige fysica is niet voor te stellen en de fysica van Newton is ontoereikend om het gedrag van sub-atomaire deeltjes te verklaren. Dat is het effect van de ontwikkelingen in de natuurkunde: de fysica als grondslag van ons beeld van de wereld wankelt.

 

Reactie van fysici

Fysici worden in de verlegenheid gebracht. Men verwacht van hen een beeld van de wereld. Voor sommige wetenschappers is deze verlegenheid aanleiding om met behulp van een ander wereldbeeld de natuurkundige theorieŽn voor te stellen. Fritjof Capra deinst er bijvoorbeeld niet voor terug om zich door de eeuwenoude tradities van het hindoeÔsme, boeddhisme en taoÔsme te laten inspireren.11 Andere fysici, waaronder professor Van den Beukel, maken zich niet druk om wat niet-fysici met fysische resultaten doen. Zij vinden het onzinnig om kennis die ontstaat in uiterst controleerbare en kunstmatig gecreŽerde condities toe te passen buiten het vakgebied van de fysica. Het funderen van een wereldbeeld op dergelijke kennis vinden zij een onverantwoorde overschatting van wetenschappelijke kennis.5 Weer anderen, bijvoorbeeld Paul Davies, verwachten stellig dat er wel weer een nieuw wereldbeeld zal komen, waarin de nieuwe fysica volop meedoet.12 Er zijn echter ook fysici die hun vak en de verlegenheid waar ze in verkeren zodanig serieus nemen, dat ze ingaan op de ingewikkelde verhouding van de wetenschap en werkelijkheid. Einstein was zo'n fysicus en daarom worden in dit artikel zijn gedachten hierop onderzocht.

 

Een grondslagencrisis in de wiskunde

In de meeste beschouwingen over de verlegenheid om op grond van de nieuwe fysische theorieŽn een wereldbeeld te funderen, lijkt vast te staan dat er met de wiskundige formulering van de theorie niets loos is. Onzekerheden kunnen met de kansrekening nauwkeurig worden beschreven. Het lijkt erop alsof de fysici, die het ideaal van Laplace hebben moeten opgegeven, zijn teruggevallen op het ideaal van Leibniz uit de achttiende eeuw. Dit wiskundig ideaal is een universele taal waarin alle problemen geformuleerd kunnen worden en daarbij een beslissingsmethode waarmee bepaald kan worden welke uitspraken in die taal 'waar' zijn en welke 'niet waar' zijn. Met de verwezenlijking van dit ideaal zou het denken vervangen kunnen worden door rekenen. Heidegger heeft erop gewezen dat het rekenende denken slechts een bepaalde vorm is van het denkvermogen. Naast het rekenende en concluderende denken wijst hij op het vernemende denken: het luisteren naar en verstaan van de het wezen der dingen. Wanneer het denken echter in taal gevat wordt, en men kan eenduidig bepalen hoe de waarheid ervan bepaald moet worden, kan het vernemen van de waarheid vervangen worden door het concluderen tot waarheid. Zover is het echter, althans in de theorie, niet gekomen. 

 

In 1936 publiceerden de logici Turing en Church onafhankelijk van elkaar, een bewijs dat het ideaal van Leibniz niet te verwezenlijken is: we kunnen geen beslissingsmethode vinden om uit te maken of een willekeurige uitspraak in een universele taal behoort tot die taal. Turing bewees het met het principe van de computer en Church met een formele taal.4 Het wiskundig formularium blijkt niet krachtig genoeg om universeel te worden toegepast. Brouwer heeft dit bankroet reeds in 1907 scherp onder woorden gebracht, terwijl hij tevens een uitweg heeft gewezen: de zuivering van het wiskundig denken. Daarom worden ook zijn gedachten in dit artikel gememoreerd.

 

 

 

4.Voorgeschiedenis

 

Plato

In het huidige debat over de ware werkelijkheid en de waarde van wetenschappelijke uitspraken hierin, wordt herhaaldelijk verwezen naar Plato en Aristoteles. Hoewel het vanuit historisch oogpunt nogal gewaagd is zoveel eeuwen van culturele verwikkelingen te overbruggen, lijkt het toch zinvol iets van het oude licht in de herinnering te roepen. Een belangrijke reden hiervoor is het honoreren van de eigenlijke tekst tegenover latere interpretaties.

 

In een belangrijk fragment van de Politeia 25 brengt Plato (427 v.Chr.) de 'hoogste kennis' ter sprake. Eťn van Socrates' leerlingen vraagt verwonderd aan de meester:

 

 

"Hoezo, is dat wat we reeds bespraken dan nog niet het hoogste? Is er nog iets voornamer dan de rechtvaardigheid en die andere deugden die we nagegaan hebben?" Socrates: "Hoe dikwijls toch hebt ge me horen zeggen dat de hoogste kennis is: de Idee van het Goede. Pas wanneer daarop een beroep gedaan wordt, worden rechtvaardige dingen - en al de rest - nuttig en voordelig."

 

 

Nu zegt de massa dat het goede bestaat in het genot, terwijl de meer verlichte geesten zeggen dat het goede bestaat in inzicht. Wat echter inzicht is, weten ook deze laatsten niet aan te geven. Wel weten ze dat goedheid iets is waar elke ziel naar streeft, het is het doel van al wat ze doet in het vage vermoeden dat het iets is, al tast ze in het onzekere en al kan ze onmogelijk precies vatten wat het eigenlijk is.

Van de schone en goede dingen die zichtbaar zijn, wil Socrates komen tot het Schone en Goede zelf. Om duidelijk te maken wat inzicht is, begint hij met het zicht. In de zichtbare wereld is de Zon de hoogste hemelgod. De verbinding tussen het zintuig om te zien en het vermogen om gezien te worden wordt onderhouden door de Zon. Dingen worden zichtbaar als er licht op valt en worden gezien omdat het gezichtsvermogen voor dit licht ontvankelijk is. Bovendien zorgt de Zon dat dingen gevoed worden zodat ze kunnen ontstaan en groeien. Wanneer nu de Zon zo geschouwd wordt, is zij beeld van de het Goede zelf, van de Idee van Goede. Wat de Zon in de wereld van het zichtbare is, dat is de Idee van het Goede in de wereld van het inzicht. De Idee van het Goede is de bron van kennis en waarheid. Ongelooflijk schoon moet dit Goede zelf zijn, daar zij kennis en waarheid verschaft en tevens deze beide in schoonheid overtreft. Men kan echter het Goede zelf niet ineens inzien. Net als bij het zien van de Zon is hiervoor een toeleidende weg noodzakelijk.

 

De verhouding van de aldus geschetste werelden, die van het zichtbare en die van het kenbare, wordt door Socrates gezien als ťťn lijn die in twee ongelijke stukken is verdeeld. Het ene deel duidt op de zichtbare wereld met de Zon en het andere op de kenbare met de Idee van het Goede. Wanneer deze twee stukken weer worden verdeeld in dezelfde verhouding, duiden deze stukken op het onderscheid tussen origineel en beeld, zowel in de wereld van het zichtbare, als in de wereld van het kenbare. Er zijn dus vier lijnsegmenten: het beeld in de zichtbare wereld, het origineel in de zichtbare wereld, het beeld in de kenbare wereld en het origineel in de kenbare wereld. Beginnen we nu met het eerste segment dan zijn dit de beelden die we zien van de echte dingen, bijvoorbeeld de schaduw van iemand, het spiegelbeeld aan de oppervlakte van het water, of op een glad voorwerp. Het tweede segment zijn de dingen zoals we die echt zien, de levende wezens rondom ons en heel de klasse van wat groeit of gemaakt wordt. Tot zover betreft het de zichtbare wereld. De overgang naar de kenbare wereld verloopt als volgt: wat in het tweede segment het origineel was, neemt de ziel nu als een afbeelding. Dus de echte dingen die we rondom ons waarnemen, worden gezien als afbeeldingen, waar nog een hoger origineel van is. Het zien van de zichtbare originelen als beelden is het derde segment. Men veronderstelt iets zuiver in de geest, dus zonder de waarneming. Het is een hypothese. In het vierde segment probeert men uiteindelijk te komen tot het origineel van dit beeld. Men klimt op tot een beginsel dat boven de hypothese uitgaat. De ziel verlaat de hypothese en, zonder een beroep te doen op beelden zoals in het vorige geval, wendt ze een eigen werkwijze aan, uitsluitend met en door de ideeŽn zelf.

 

Het verging Socrates' leerling zoals zovelen na hem die deze uiteenzetting voor het eerst aanhoorden: hij had het niet best begrepen. Nu was Socrates geen ongeduldige leermeester die slechts kennis wilde overdragen, maar hij zag zich zelf liever als een vroedvrouw die anderen wilde helpen om gedachten geboren te laten worden. "We doen het nog eens over", zei hij, "en als ik een paar voorafgaande opmerkingen maak, zul je de zaak inderdaad gemakkelijker vatten." Om de lange weg van zichtbaar beeld, via zichtbaar origineel en kenbaar beeld, naar kenbaar origineel duidelijk te maken, verwijst Socrates naar de beoefenaars van de meetkunde. Zij gebruiken zichtbare vormen en redeneren daarmee, ook al denken ze niet aan die zichtbare vormen. Wanneer ze redeneren is het hun om het absolute vierkant te doen en niet om het vierkant dat ze tekenen. Het vierkant dat getekend of gebouwd wordt is zichtbaar (tweede segment). Dit vierkant kan een schaduw afwerpen en kan ook in het water weerspiegeld worden (beelden van het eerste segment). Het vierkant kan echter ook zelf als beeld worden opgevat van zoiets als een absoluut vierkant (derde segment). Dit is wat de meetkundige doet. Hij veronderstelt absolute figuren, ook het evene en onevene enzovoort. De hypothese is het eerste beginsel, daarmee gaat hij redeneren. Tot het hoogste (vierde segment) komt hij niet. Dat kan alleen in een dialoog. De kracht van een dialoog is dat ze de hypothese niet ziet als eerste beginsel, maar als springplank om te komen tot het hoogste en universele beginsel, dat zelf boven alle hypothesen verheven is.

 

Na deze voorafgaande opmerking gaat Socrates in op de moeilijke stap van de zichtbare dingen naar de kenbare dingen. Deze stap brengt een verandering in de toestand van de ziel teweeg. Socrates vergelijkt het eerste segment van de schaduwen en spiegelbeelden met de toestand waarin de ziel iets vermoedt of meent. Het is een εικασια, gissing. Het tweede segment van de zichtbare dingen zelf, is de toestand waarin de ziel iets aanneemt, ergens op vertrouwt (πιστις). Het derde segment van de hypothese komt overeen met διαvoια, het analyserende denken. De ziel beweegt zich tussen het hoogste kennen (vierde segment) en de waarneming van de dingen (tweede segment). Het hoogste kennen is dan de toestand waarin de ziel, los gekomen van gissing, waarneming en hypothese, de ideeŽn zelf verneemt of aanschouwt (voησις). De stap die Socrates gaat toelichten met de beroemd geworden gelijkenis van de grot, betreft de verandering van de ziel die de betrokkenheid op de zichtbare dingen moet veranderen in een betrokkenheid op iets in de geestelijke wereld. In de gelijkenis vindt die verandering plaats. Iemand die uitsluitend schaduwen ziet, weet niet dat het slechts schaduwen zijn. Wanneer hij van anderen hoort dat datgene wat hij met zijn eigen ogen ziet beelden zijn en niet de werkelijkheid zelf, kan hij een vermoeden krijgen van een oorspronkelijke werkelijkheid. Hij kan het echter ook als een onzinnige mening terzijde leggen. Wanneer hij echter los gemaakt wordt uit de boeien en naar het licht kan kijken, dan zal alles wat hij doet zeer pijnlijk zijn. De schittering van het licht zal het hem onmogelijk maken de dingen te onderscheiden waar hij zojuist de schaduwen van zag. Na verloop van tijd echter zal hij de dingen gaan zien zoals ze echt zijn. Deze ervaring is niet overdraagbaar. Mensen die er van getuigen worden vaak niet begrepen. Het gaat er ook niet om in de ziel een kennis te brengen die er oorspronkelijk niet in is, maar de kunst van onderwijs en opvoeding is de kunst van het 'omwenden'. Socrates:

 

 

"De kunst van de opvoeding is niet de kunst om in het orgaan van de kennis het zien te brengen; nee, dit bezit ze reeds, maar het is verkeerd gericht en kijkt niet waar het behoorde te kijken."

 

Het is dus van belang om in de eerste plaats inzicht te verkrijgen, dat wil zeggen: het denkvermogen te ontwikkelen in de lijn van de vier segmenten, maar het is van een zo mogelijk nog groter belang om het denkvermogen door een juiste gerichtheid nuttig en dienstbaar te maken in plaats van nutteloos en schadelijk. Niet meer gericht op macht of uitbundige genietingen, maar op studie en zuivere waarheden. Doet men dit niet dan zal men meer kwaad stichten, naarmate men scherper gaat zien.

 

Aristoteles

Een directe leerling van Plato, die vanaf zijn achttiende levensjaar 20 jaar lessen in Athene volgde en daarna Alexander de Grote opvoedde, wordt vaak geciteerd om een correctie aan te brengen op de verheven gedachtengang van Socrates. De leerling Aristoteles (384 v.Chr.) moet in deze interpretaties niets hebben van de kenbare wereld van Plato; hij zou zich beperken tot de wereld die zichtbaar is. Nu is er wel een zekere verandering traceerbaar in Aristoteles' geschriften over de ideeŽnwereld van zijn meester, maar ook in zijn latere geschriften wordt de weg tot kennis nog steeds gekenmerkt door stappen in de twee werelden die Plato beschreef. Wel is Aristoteles erg voorzichtig met de stappen in de kenbare wereld, terwijl hij de stappen in de zichtbare wereld uitvoerig behandelt. In niet mis te verstane woorden waarschuwt hij bovendien voor het gevaar om algemeenheden (de dingen 'op zich') af te leiden uit de waarneming van de dingen. Dergelijke algemeenheden zijn 'nutteloze toevoegingen'. Aristoteles is juist op zoek naar het wezen van dingen zelf. Naar het algemene wat in de dingen aanwezig is en wat het bestaan van de dingen mogelijk maakt.

 

Nemen we als voorbeeld de eik voor het Academiegebouw in Athene, dan kunnen we ons afvragen waarom we die boom een eik noemen. Is dat omdat we bij het zien van een eik het wezenlijke van die boom als eik herkennen, of hebben we na de waarneming van enkele bomen die er ongeveer hetzelfde uitzien deze gegroepeerd onder de naam eik en zien we dat de boom voor het academiegebouw dezelfde kenmerken heeft als de 'eik op zich'? Aristoteles maakt een duidelijk onderscheid tussen deze twee algemeenheden. Het eerste betreft directe kennis omtrent het wezen van de dingen, terwijl het tweede een overbodige afleiding is van concrete waarnemingen.

 

Ook bij Aristoteles stellen we de vraag wat de weg is waarlangs men tot wezenlijke kennis kan komen. In zijn vroege werk Topica 2 beschrijft hij vier stappen. In de hiŽrarchie die Klever in zijn dissertatie 21 verdedigt zijn dit:

1) συμβεβηκoς, een eigenschap die toevallig tot het waargenomene behoort,

2) ιδιov, iets dat - krachtens haar aard - eigen is aan het waargenomene,

3) γεvoς, het geslacht waartoe het waargenomene behoort en

4) oρoς of λoγoς, de bepalende definitie of volzin.

 

Deze vier stappen zijn weliswaar niet geheel vergelijkbaar met de vier segmenten bij Plato, maar toch wordt een grote verwantschap met Plato's werelden door veel interpretatoren aangegeven en verklaard door de vroege datering van dit werk. Net als bij Plato zijn er twee stappen in de wereld der verschijnselen (de zichtbare eigenschappen) en twee stappen in de wereld van de wezenskennis. In zijn latere werken Analytica Priora en Analytica Posteriora die aan het einde van de platoonse tijd worden gedateerd, wordt een uitleg gegeven van de weg tot wezenskennis.

 

 

"Zien kan men slechts het afzonderlijk particuliere, het kennen van het algemene is een activiteit van de geest (voυς)." 1

Uiteindelijk gaat het Aristoteles om de hoogste kennis: de λoγoς, een definitie, sluitrede, naam of volzin waardoor het wezenlijke van iets zich kan openbaren.

Nemen we als voorbeeld de bekende redenering:

 

 

1) Alle mensen zijn sterfelijk

2) Socrates is een mens

3) Socrates is sterfelijk

 

Allereerst staat er een algemeenheid: 'Alle mensen zijn sterfelijk'. Net als bij de eik vragen we ons af of dit een gegeven algemeenheid betreft of een algemeenheid die geconcludeerd wordt op grond van de waarneming dat enkele mensen sterfelijk zijn. Is dit laatste het geval dan hebben we een moeilijkheid: als we slechts van enkele mensen hebben waargenomen dat ze sterfelijk zijn, dan hoeft dit voor Socrates niet te gelden. De generalisatie van 'bij enkele waargenomen' naar 'alle' is een ongefundeerde stap, tenzij men van alle mensen gezien heeft dat ze sterven, maar dan is de redenering onnodig. Voor Aristoteles is een gegeneraliseerd uitgangspunt om twee redenen nutteloos: 1) een afgeleidealgemeenheid brengt niet het wezenlijke 3 en 2) men begint niet met een algemeenheid, maar met een concrete waarneming van iets bijzonders.1 Dit is een wezenlijk andere denkrichting. 

 

Aristoteles is op zoek naar het wezen van iets dat hij waargenomen heeft. Hij begint niet met een algemeen axioma te veronderstellen, maar met een vraagstelling over een concrete waarneming. Hij ziet Socrates en vraagt zich af of die sterfelijk is. Hij zoekt als het ware naar iets waarmee de derde, concrete uitspraak ondergebracht kan worden in een eerste, wezenlijke algemeenheid. Dat iets is de tweede zin, die bemiddelt tussen de derde en eerste zin. De eerste zin is de wezenlijke algemeenheid die ons meer bekend moet zijn dan de waarneming, anders is het voeren van de derde zin tot haar wezen zonder nut. De wijze waarop de derde zin opgetrokken kan worden naar de eerste, meer-bekende zin is via de middelste zin. In een redenering beginnen we dus steeds met iets bijzonders dat via een welgekozen middenzin verheven kan worden tot een wezenlijke bepaling.

 

Het wezen van een eik is dus geen algemeenheid die afgeleid kan worden uit de waarneming. Men kan wel algemeenheden verzinnen, nadat men enkele eikebomen heeft waargenomen, maar die algemeenheden vormen niet het wezen van de eikeboom voor het academiegebouw. Elke algemeenheid die wordt afgeleid noemt Aristoteles lege toevoegingen.3 Alle ideeŽn van Plato zijn volgens hem afgeleid en dus leeg. Ze ontstaan namelijk door iets weg te nemen uit de concrete waarneming. Dat iets kan geduid worden als de dimensie van de ruimte.19 Wanneer een meetkundige spreekt over een vlak en hij doet dat op de wijze die Socrates beschreef: losgekomen van de waarneming van platte voorwerpen en een absoluut vlak veronderstellend, dan zal Aristoteles spreken van een afgeleide algemeenheid. De wiskundige stelt zich een vlak voor dat naar alle kanten oneindig groot is. Met andere woorden: de begrenzing van de ruimte is er uit weg genomen. Lege algemeenheden die niet meer samen vallen met concreet waarneembare dingen blijven dan over. Het zijn nutteloze verdubbelingen, waar je je beter van kan ontdoen. Zelfs de wiskunde kan volgens Aristoteles zonder problemen verder denken, wanneer ze zich slechts met in de ruimte begrensde dingen bezig houdt.

 

Het wezen van de dingen is voor Aristoteles geen afgeleide algemeenheid. Het is echter ook geen oorsprong van de waarneembare dingen. Het is niet zo dat het wezen van een eikeboom reeds van eeuwigheid bestond en zich af en toe of voortdurend in de materie verwerkelijkt. Dan zou immers het wezen van iets kunnen bestaan zonder dat het waargenomen wordt en dat wilde Aristoteles juist vermijden. Een bijzondere eik die op een bepaald moment niet meer waargenomen wordt, kan nog wel bestaan, maar het wezen van iets kan zonder een concreet ding niet bestaan, behalve als lege algemeenheid. Aristoteles zoekt dus niet naar algemeenheden die bestaan voorafgaand aan de waarneming, maar ook niet naar uit de waarneming afleidbare algemeenheden. Hij wil daarentegen datgene wat aan ons verschijnt verheffen (επαγωγειv, aanvoeren, optrekken) door het te verbinden (syllogisme komt van συλλoγιζεσ'αι, geestelijk samen-vatten) met zijn wezen.1 Dat kan in een naam worden uitgedrukt en opgeroepen. Niet alle namen geven echter het wezen van de dingen aan. In het vijfde boek van de Metafysica en in het derde boek van De Anima behandelt Aristoteles het verschil tussen een ware naam en een valse naam. Het is bijvoorbeeld door onwetendheid mogelijk dat iemand het wezen van iets niet goed ziet. Ook door een valse naam kan het zicht op iets worden verborgen. Er schuift als het ware een verkeerde naam tussen het ding en de waarnemer. Een ware naam geeft echter het ding zoals het in wezen is, onverborgen. Dit is de λoγoς, het woord waardoor het wezen wordt aangeduid en tevoorschijn geroepen. De ware naam bevestigt het wezen van de dingen waardoor het zich als zodanig kan openbaren. Bestudering van de logica is bij Aristoteles een onmisbare voorfase voor alle wetenschap. In het schema van het menselijk kennen komt de logica of analytica niet voor. Hij beschouwt het als voorkennis. In de Metafysica zegt hij:

 

 

"Men moet van tevoren opgeleid zijn in de kwestie hoe alles aanvaard moet worden, aangezien het dwaas is tegelijk de wetenschap te zoeken en de wijze waarop wetenschap tot stand komt."

 

 

De universaliastrijd

Bij Plato openbaarde het wezen der dingen zich in de herinnering van de Goddelijke IdeeŽn en bij Aristoteles kon het wezen der dingen herkend worden in de waarneming omdat het wezen zich openbaarde als iets dat meer-bekend was. De openbaring werd na het jaar 1000 echter problematisch. Voor sommigen was het licht der openbaring nog zichtbaar. Anselmus van Canterbury (1033) schreef bijvoorbeeld in zijn Monologion, dat hij van mening was

 

 

"dat het voor de onderzoeker, wanneer hij iets onbegrijpelijks ontdekt, voldoende is, wanneer hij door zijn redelijke overweging zo ver kan komen, dat hij de waarheid inziet als volkomen zeker gesteld. [...] De zekerheid van dit inzicht wordt zelfs niet aangetast wanneer het verstand er niet zodanig in kan door dringen, dat een verklaring in woorden mogelijk zou zijn."

 

Voor Anselmus waren er openbaringen van onbegrijpelijke en onuitsprekelijke dingen die door stappen in de kenbare wereld ingezien konden worden. De openbaring is voor hem doorslaggevend, zelfs voorwaarde voor het begrip. Is men eenmaal tot inzicht en begrip gekomen, dan valt dit voor hem vanzelfsprekend samen met het wezenlijke van het bestaande. God als het grootste wat denkbaar is, bestaat dus. Een tijdgenoot, Roscellinus van CompiŤgne (Ī 1050), werd door hem bestreden. Roscellinus stelde dat inzicht en begrippen slechts 'flatus voci' zijn, een ademtocht van de stem. Openbaring is er voor hem niet meer. Alleen het waarneembare bestaat, de rest zijn afgeleide begrippen. Aangezien hij deze overtuiging toepaste op het begrip DrieŽenheid, dat in zijn opvatting slechts een begrip is en dus niet werkelijk bestaat, werd hij door de kerk veroordeeld. Hiermee werd echter niet voorkomen dat Roscellinus het begin bleek te zijn van een nieuwe periode.27 Hij was de eerste vertegenwoordiger van het nominalisme. Deze stroming ziet de algemeenheden slechts in de generalisaties die afgeleid worden uit de waarneming. Hoe je die algemeenheden noemt is volstrekt willekeurig, het zijn slechts 'nomina', namen. Openbaring van het wezen der dingen is er voor de nominalisten niet meer. Er zijn alleen zelfverzonnen begrippen, nadat men heeft waargenomen. De 'universalia post res', algemeenheden na de (waarneming van de) dingen. 

 

Na Anselmus en Roscellinus werd deze strijd om de universalia onverminderd voortgezet. De tegenstanders van de nominalisten werden realisten genoemd, omdat de universalia voor hen geen willekeurige naampjes zijn, maar openbaringen van een werkelijkheid. Hun leus was: 'universalia ante res', de algemeenheden gaan aan de dingen vooraf. Een buitengewoon scherpzinnig scholasticus die een tussenpositie inneemt in de strijd om de universalia en daarmee een wapenstilstand bedingt is Petrus Abaelardus (1079). In de richting van de realisten zegt hij dat er universalia bestaan voorafgaand aan de dingen. Ze bestaan echter niet in een voor de mens waarneembare werkelijkheid, maar in de Goddelijke geest. In de richting van de nominalisten zegt hij dat de mens met zijn verstand uit de afzonderlijke dingen de algemene kan abstraheren. De verbinding tussen deze twee is zijn opvatting van de 'universalia in rebus', algemeenheden in de dingen. Dit compromis, dat een verrassende parallel vertoont met de oplossing van Avicenna (980) voor een vergelijkbare strijd in de Arabische cultuur, geeft aan dat de openbaring van de universalia niet meer tot de mensen komt. Het is iets in de geest van God. De mens kan de universalia alleen maar afleiden. In zijn Gesprek tussen een Jood, een filosoof en een Christen zegt Abaelardus:

 

 

"Niet de openbaring is in staat dwingende gronden voor een bepaalde overtuiging te verschaffen en zelfs wonderen kunnen dat niet; alleen het verstand bezit bewijskracht."

 

 

Het geweldige bronnen-onderzoek door Albertus Magnus, die via Arabische vertalingen Aristoteles in het Latijn las, en ook het inzicht van Thomas van Aquino die Aristoteles in een directe vertaling uit het Grieks las, hebben niet voorkomen dat er een scheiding ontstond tussen openbaringen in een bovennatuur en zelfstandig onderzoek in de gewone natuur. De wetenschappelijke methode kwam meer en meer los te staan van de goddelijke wereld. De weg tot kennis werd meer een wetenschappelijk generaliseren uit waarnemingen dan een verbinden van waargenomen dingen met openbaringen van het wezen zelf. En aangezien die wetenschappelijke weg tot kennis steeds meer bewandeld werd, veranderde de kennis zelf. Het ging niet meer om kennis die tot inzicht in het leven leidt, maar om kennis die tot resultaten leidt.

 

Eeuwenlang heeft deze ontwikkeling zich doorgezet. In de zeventiende eeuw werd de verhouding tussen geopenbaarde en veronderstelde waarheden opnieuw problematisch. Door de kerkelijke gezagsdragers werd de openbaring steeds meer vastgelegd in dogma's en door de wetenschappers werd de waarneembare werkelijkheid steeds meer berekenbaar gemaakt. Toen Copernicus (1473) met zijn 'systeem van de wereld' kwam was er voor de kerk evenwel niets aan de hand. In het voorwoord van zijn De revolutionibus stond immers dat de hypothese van een roterende aarde rond de zon niet noodzakelijkerwijs waar hoeft te zijn, zelfs niet eens gelijkend op de waarheid, want het gaat erom dat met die hypothese de waarnemingen aan het wereldsysteem veel eenvoudiger te berekenen waren. Paus Gregorius gebruikte de berekeningen voor een herziening van de kalender en kardinaal Bellarmino schreef dat Galilei voorzichtig handelde omdat hij 'ex suppositione', veronderstellenderwijs spreekt over Copernicus' systeem. Verder schreef hij dat er geen gevaar schuilt in het veronderstellen dat de aarde beweegt en de zon in rust is, als daarmee beter rekening gehouden kan worden met de verschijnselen zoals deze worden waargenomen.

 

Galilei (1564), die door een kijker de fasen van Venus had gezien en daarin een bevestiging zag van Copernicus' opvatting dat de planeten als manen rond de zon draaiden, ging echter een stapje verder. Voor hem was Copernicus' systeem niet alleen een instrument om iets te berekenen, maar ook een ware beschrijving van de wereld. Aangezien de kerk leerde dat de zon om de aarde draaide, op grond van het verhaal waarin Jozua zon en maan gebiedt stil te staan, en zij deze leer zag als de enige ware beschrijving van de wereld, ontstond er een concrete kapstok om een fundamenteel probleem aan op te hangen. Het verschil tussen geopenbaarde algemeenheden (het wezen der dingen dat eerder en bekender is dan de waarneming) en afgeleide algemeenheden (de generalisaties waaraan naampjes zijn toegekend) stond niet meer centraal. Men vroeg zich nu af waarom de afgeleide wetten niet tegelijk het wezen van de natuur zouden kunnen blootleggen. Met andere woorden: waarom er nog openbaring nodig is om de geheimen van de natuur te doorgronden.

 

Wellicht is deze overweging de eigenlijke motivatie geweest voor het felle verzet van de kerk tegen de nieuwe ontwikkelingen. Na het analyseren van Newtons concept van de zwaartekracht schrijft bisschop Berkeley dat dit concept een serieuze vijand is van het geloof. Hij was er van overtuigd dat het religieuze geloof zou afnemen wanneer de interpretatie van de wetenschappers correct was; die zien immers in het succes van de theorie een bewijs van de kracht van het menselijk intellect om, niet geholpen door goddelijke openbaring, de verborgen werkelijkheid achter de verschijnselen te ontdekken. Newton (1643) had aanleiding gegeven om een aantrekkingskracht te veronderstellen, terwijl feitelijk alleen de bewegingen van lichamen maar zichtbaar zijn. Het begrip 'aantrekkingskracht' gaat verder dan de wereld der verschijnselen en is daarom slechts een hypothese. Het is een naampje, dat als instrument voor berekeningen dienen kan. Hoewel dit argument van Berkeley gebaseerd was op zijn nominalistische filosofie van de taal, verwoordt de wetenschapsfilosoof Karl Popper (1902) de strijd in de zestiende en zeventiende eeuw niet in termen van nominalisten en realisten, maar in termen van instrumentalisten en essentialisten. Instrumentalisten zijn degenen die de wetenschappelijke theorieŽn slechts als instrumenten gebruiken, terwijl de essentialisten de wetenschappelijke theorieŽn ook opvatten als beschrijvingen van de essentie, het wezen van de dingen. Na een beschouwing over de argumenten voor en tegen beide opvattingen komt Popper met een derde opvatting. Kort gezegd komt het hier op neer:

 

 

"scientific theories are genuine conjectures, highly informative guesses about the world which although not verifiable (i.e. capable of being shown to be true) can be submitted to severe critical tests. They are serious attempts to discover the truth." 26

 

Na het verdwijnen van de openbaring en na de vaststelling dat de openbaring ook niet meer noodzakelijk was, omdat men deze vervangen had door een nieuw zicht op het wezen van de dingen, geeft Popper een scherpe begrenzing aan van dit nieuwe inzicht: de wetenschappelijke theorieŽn zijn hypothesen waarvan de waarheid nooit vastgesteld kan worden. Altijd zullen er experimenten geformuleerd kunnen worden die de hypothese mogelijkerwijs onderuit halen. Dat neemt echter niet weg dat er onderscheid is tussen de verschillende hypothesen: er zijn meer en minder informatieve gissingen. Een vraag die men zich vervolgens stellen kan is: hoe komt men dan tot geniale gissingen? Zijn het generalisaties van waarnemingen of spelen associatieve verbanden een cruciale rol? Is het de bijzondere denkkracht van iemand of is het te danken aan een geconcentreerd wachten op de juiste ingeving?

 

In de bestudering van de weg die Einstein en Brouwer gaan tot kennis, zal deze vraag de belangrijkste leidraad zijn. Wij kunnen daarbij lering trekken uit de geschiedenis. We hebben immers gezien dat er in het denken twee wegen tot kennis zijn. Eerst was er de weg van de oudheid: beginnend met de waarneming kwam men via een soort mathematische conceptualisering uit bij de openbaring van levensinzicht enkennis van het wezenlijke. Daarna, in de middeleeuwen, werd door vooruitstrevende lieden een andere weg bewandeld. Beginnend met een algemene naam als een generaliserende beschrijving van waarnemingen, werden uitspraken afgeleid over specifieke gebeurtenissen. In de zeventiende eeuw werden de hypothetische beschrijvingen en wetmatigheden bovendien opgevat als openbaringen van het wezenlijke. De theoretische voorspellingen klopte immers wonderwel met de experimentele resultaten. Wanneer we nu uitspraken van mensen uit de 20e eeuw in herinnering roepen, zal bij de behandeling van de waarde van het denken doorgevraagd worden naar de weg die men gevolgd heeft en naar de ideeŽn waardoor men geleid werd.

 

 

 

5.Einstein

 

Het memoreren van enkele biografische feiten kan een achtergrond vormen waartegen Einsteins gedachten duidelijker uitkomen.

Albert Einstein

   Geboren op 14 maart 1879 in Ulm (Duitsland).

   Kon na dertig maanden nog niet spreken, maar grootmoeder herinnerde zich wel koddige invallen.

   Kreeg toen hij als vijfjarige ziek op bed lag, een kompas. Een hartstochtelijke nieuwsgierigheid ontwaakte.

   Voelde zich sterk aangetrokken tot de geestelijke en rituele kant van de joodse godsdienst.

   Was als leerling goed noch slecht, maar in de wiskunde, natuurkunde en filosofie was hij, mede door zelfstudie, ver vooruit.

   Vond vioolleraren die technische oefeningen boven de muziek stelden irritant. De vurige wens om de artistieke inhoud en bijzondere gratie van Mozarts sonates weer te geven was voor hem meer motiverend.

   Was twaalf jaar toen het 'heilige meetkundeboekje van Euclides' een onbeschrijfelijk indruk op hem maakte: in de kantlijn schreef hij dat sommige bewijzen niet klopten, maar de niet voor de hand liggende stelling dat de drie hoogtelijnen van een driehoek elkaar in ťťn punt snijden werd met zoveel zekerheid bewezen dat er 'van twijfel geen sprake kon zijn'!

   Las een jaar later Kant en vroeg zich op zijn zestiende af hoe een lichtgolf eruit zou zien voor iemand die zich bewoog met gelijke snelheid als de lichtgolf. Tien jaar zou het duren voor hij daarop antwoord gaf.

   Werd liever fysicus dan mathematicus, omdat hij niet kon kiezen tussen de vele specialismen in de wiskunde. In zijn autobiografie zegt hij: "Kennelijk was mijn intuÔtie op het terrein van de wiskunde niet sterk genoeg. In de fysica leerde ik daarentegen al vroeg het fundamentele van het onbelangrijke te scheiden".

 

Hoewel vervuld van oprecht ontzag voor Newton, wijkt Einstein op sommige punten van hem af. Bekend is de geheel andere opvatting over ruimte en tijd, maar minder bekend is de andere wetenschappelijke methode die gevolgd wordt. Einstein:

 

 

"De natuuronderzoekers van die tijd waren er van overtuigd dat de grondbegrippen en wetten van de natuurkunde door abstractie, dat is langs logische weg, afgeleid kunnen worden uit de ervaring. De algemene relativiteitstheorie toonde eigenlijk voor het eerst de onjuistheid van deze opvatting aan." 16

 

De relativiteitstheorie was ontstaan als een vrije schepping van de menselijke geest. Meer beeldend zegt hij het zo:

 

 

"De relatie van een concept tot de zintuiglijke waarneming is niet analoog aan die van soep tot rundvlees, maar eerder aan die van een garderobenummer tot een jas." 17

 

Dit is een enorme stap. De zintuiglijke waarneming wordt losgelaten. Voor Einstein geldt niet dat slechts datgene waar is wat waargenomen wordt. Hij zegt:

 

 

"De zintuiglijke waarnemingen geven slechts onrechtstreekse inlichtingen over de wereld rondom ons, of over de 'fysische werkelijkheid'. Daarom kan deze laatste door ons slechts begrepen worden langs bespiegelende weg." 22

 

Einstein keert zijn blik dus niet naar de natuur buiten, maar naar de scheppende geest binnen in de mens. Hij keert in zichzelf. De menselijke geest schept zich een wereld. Voor een fysicus is dit een grote omwenteling, die niet zonder problemen gepaard gaat. Einstein stelt zich dan ook de volgende vraag:

 

 

"Wanneer het nu waar is, dat de axiomatische grondslag van de theoretische natuurkunde niet uit de ervaring afgeleid, maar vrij uitgevonden moet worden, mogen wij dan in het algemeen hopen de juiste weg te vinden? Nog meer: bestaat die juiste weg niet slechts in onze illusie?" 16

 

Het antwoord dat hij geeft is drieledig. In de eerste plaats geeft de ervaring ons het recht te geloven dat de natuur een realisatie is van het mathematisch eenvoudigste dat denkbaar is. Door een zuiver mathematische constructie in de menselijke geest zijn wij in staat de begrippen en hun verbanden te vinden. Ze verschaffen zelfs de sleutel tot het begrijpen van de natuurverschijnselen. In de tweede plaats zijn deze constructies niet iets dat bestaat voor de ervaring, ze zijn niet a‑priori, maar zij worden geÔnspireerd door waarneming, ervaring en bestaande ideeŽn of juist het verbrokkelen daarvan. En in de derde plaats blijft het experiment natuurlijk het enige criterium voor de bruikbaarheid van dergelijke constructies in de natuurkunde. Het onderscheid in de vrije scheppingen van de menselijke geest tussen fantasie en werkelijkheid wordt bij Einstein bepaald door de experimentele ervaring in de natuurkunde. De grondslag voor de natuurkunde ligt echter in de schepping van een mathematisch concept. Bij Einstein is deze schepping een zeer artistieke aangelegenheid. Kouznetsov zegt in dit verband:

 

 

"Mozart had het over het opperste ogenblik van het scheppen: het ogenblik waarop de toondichter de gehele symfonie hoort die hij nog niet heeft uitgeschreven. Volgens Einstein is de intuÔtie van wezenlijk belang voor iedere wetenschappelijke schepping: het is het element dat deze verbindt met de zuivere artistieke kreatie." 22

 

Kouznetsov haalt vervolgens een antwoord aan van Einstein op de vraag van een Franse wiskundige om de mentale beelden te definiŽren die behulpzaam zijn bij het werk. Einstein:

 

 

"De woorden van een taal, of ze nu geschreven zijn of uitgesproken, lijken geen enkele rol te spelen in mijn denkmechanisme. De fysische entiteiten, die als elementen voor mijn denken schijnen te dienen, zijn zekere min of meer duidelijke tekens en beelden, die vrijwillig weer voortgebracht en gekombineerd kunnen worden. [...] Er bestaat weliswaar een bepaalde band tussen deze bestanddelen en de nabije logische begrippen. Het is ook duidelijk dat het verlangen om uiteindelijk tot logisch verbonden begrippen te komen, de gevoelsbasis vormt voor dit nogal vage spel met de door mij genoemde elementen. Maar van een psychologisch standpunt uit gezien, schijnt me dit kombinatiespel de wezenlijke karakteristiek te zijn van het produktieve denken ‑ nog voor dat welke band dan ook ontstaat met logische konstrukties, uitgedrukt in woorden of met behulp van andere typen van tekens, die aan anderen kunnen worden medegedeeld."

 

Het creŽren van nog ongeformuleerde combinaties is dus een vrije activiteit van de menselijke geest. Toch is er wel een zekere voorkeur voor bepaalde concepten. Het waarderen van goede wetenschap en het waarderen van goede muziek, doet min of meer beroep op hetzelfde geestelijke proces.22 Einstein stelt hiermee een tweede eis aan een nieuw concept. De eerste eis betreft een experimentele bevestiging van de geldigheid voor de waarneembare werkelijkheid. Dit is nodig omdat het concept op het moment van ontstaan niet gebonden is aan waarnemingen. Naast deze algemene eis van een 'uitwendige bevestiging', stelt Einstein bovendien als eis dat een concept een 'natuurlijke innerlijke volmaaktheid' moet bezitten. Het is dus niet helemaal willekeurig welke concepten er gecreŽerd worden. Sterker nog:

 

 

"De theorie die in de hoogste mate een innerlijke volmaaktheid geniet, berust het minst op willekeurige veronderstellingen." 14

 

Dit idee van schoonheid als een innerlijke volmaaktheid was voor Einstein zo belangrijk dat hij geen vrede kon hebben met de speciale relativiteitstheorie. In 1905 had hij met die theorie aangetoond dat een eenparige beweging (dat is een beweging met een constante snelheid) relatief is. Dat het alleen de eenparige beweging was, duidt op een incomplete fysische theorie. Dat hij tien jaar lang heeft gewerkt om ook de niet-eenparige bewegingen, die we in het alledaagse leven waarnemen, onder te brengen in de relativiteitstheorie, duidt op zijn eerbied voor eenvoud en schoonheid. Uiteindelijk bracht dit streven hem op zwaartekrachtvergelijkingen waarin zo'n grote schoonheid door klinkt, dat hij aan Lanczos schreef:

 

 

"Van oorsprong een sceptisch empirist, zo ongeveer in de trant van Mach, heeft het probleem van de zwaartekracht mij tot een soort gelovig rationalist gemaakt, dat wil zeggen tot iemand die gelooft de enige betrouwbare bron van waarheid in mathematische eenvoud te kunnen vinden." 13

 

Deze weg van Einstein, beginnend met een streven naar wetenschappelijke kennis betreffende een fysisch verschijnsel en uitkomend op mathematische concepten, wordt gestuurd en gestimuleerd door een innerlijk schouwen van schoonheid. "Dat de wereld begrijpelijk is, is het meest onbegrijpelijke van de wereld" zei hij eens geheimzinnig. In twee andere brieven die hij later (respectievelijk 1938 en 1942) aan Lanczos zond schreef hij:

 

 

"Nu al meer dan twintig jaar worstel ik met het fundamentele probleem van de elektriciteit en ik word er echt moedeloos van, maar kan me er niet van losmaken. Ik ben ervan overtuigd dat ons een volledig nieuw licht zal moeten opgaan; aan de andere kant geloof ik dat we de vlucht in de statistiek slechts als een tijdelijke uitweg moeten zien, die aan de essentie voorbijgaat."

 

 

"Voorzover ik weet bent u de enige die dezelfde instelling ten opzichte van de natuurkunde hebt als ik: geloof in de begrijpelijkheid van de realiteit via iets dat logisch eenvoudig is en ťťn geheel vormt... Het lijkt moeilijk God in zijn kaarten te kijken. Maar dat hij zou dobbelen en zich van 'telepathische' middelen zou bedienen (wat de tegenwoordige quantumtheorie van hem vergt) geloof ik geen moment." 13

 

Het was Einsteins mathematische intuÔtie die hem tot het twistpunt met Bohr bracht. Statistiek beantwoordt niet aan de schone eenvoud in de natuur die hem geopenbaard was. Al tijdens het leven van Einstein waren er personen die geÔnteresseerd waren in de religieuze dimensies van de nieuwe fysische theorieŽn. Met het verbreken van de absolute tijd- en ruimteopvatting van Newton zagen zij het gevestigde wereldbeeld wankelen. Zij vroegen zich af wat de religieuze implicaties waren van de relativiteitstheorie. Einstein antwoordde:

 

 

"Ik geloof niet dat de grondslagen van de relativiteitstheorie een andere relatie tot de religieuze sfeer hebben dan wetenschappelijke kennis in het algemeen. Die relatie zie ik zo, dat diepe samenhangen in de objectieve wereld door logisch eenvoudige denkbeelden doorgrond kunnen worden. Voor de relativiteitstheorie gaat dat in bijzonder hoge mate op." 13

 

Het beantwoorden van religieuze vragen in de context van een wereldbeeld is met de relativiteitstheorie niet gewijzigd. Het beeld van de wereld als een religieus geÔnspireerd gevoel van een diepe, eenvoudige samenhang is er altijd geweest. Einstein was zich ervan bewust dat dit religieuze gevoel anders was dan het gangbare:

 

 

"Het religieuze gevoel zoals dat meestal opgevat wordt, is van een wat andere aard dan het religieuze gevoel, opgewekt door de overtuiging dat diepe samenhangen logisch begrepen kunnen worden. Het is meer een gevoel van verwondering over en bewondering voor het vernuft dat zich in de dingen openbaart, dan dat het ons aanleiding geeft ons een goddelijk personage naar ons evenbeeld voor te stellen, een personage dat eisen aan ons stelt en geÔnteresseerd is in ons individuele bestaan." 13

 

De algemene relativiteitstheorie heeft hem zeer gesteund in zijn opvatting. De eenvoud van de natuur werd in een eenvoudig denkbeeld doorgrond. Toch zag hij het resultaat nog maar als een begin. Zijn intuÔtie stuurde aan op de zuivering van de inmiddels gevestigde quantummechanica. Hij wist zich daarbij gesterkt door het woord van Lessing: 'het streven naar waarheid is edeler dan het verzekerde bezit ervan'. Met het oog op de onvolledige quantumtheorie vond Einstein de resultaten van de wetenschap nog bescheiden. In het voorwoord voor het boek Spinoza, Portrait of a Spiritual Hero van R. Kayser schreef Einstein:

 

 

"Although he lived three hundred years before our time, the spiritual situation with which Spinoza had to cope peculiarly resembles our own. The reason for this is that he was utterly convinced of the causal dependence of all phenomona, at a time when the success accompanying the efforts to achieve a knowledge of the causal relationship of natural phenomena was still quite modest."

 

Einsteins weg tot natuurwetenschappelijke kennis, zoals die uit de gegeven citaten naar voren komt, kent verschillende richtingwijzers. Allereerst wordt benadrukt dat de verbanden in de waarnemingen niet afgeleid moeten worden uit de zintuiglijke waarneming zelf, maar daarvan onafhankelijk gecreŽerd worden door de menselijke geest. Als criterium voor een goede creatie geldt de norm van een eenvoudige harmonieuze schoonheid. Hoe meer deze schone concepten beantwoorden aan de openbaring in het denken, hoe minder willekeurige voorstellingen nodig zijn. Verder dient het concept experimenteel bevestigd te worden, wil het voor de natuurkunde bruikbaar zijn.

Naast Einsteins bescheidenheid in datgene wat hij op deze wijze tot stand heeft gebracht, is het opmerkelijk dat hij ook de weg tot kennis zelf, die hij met zoveel overtuiging verwoordt, relativeert. Hij waarschuwt:

 

 

"Wanneer gij van de theoretische natuurkundigen iets leren wilt omtrent de door hen gebruikte methoden, dan geef ik u in overweging, u te houden aan het principe: hoort niet naar hun woorden, maar let op hun daden." 16

 

Bekend is Einsteins inzet voor de wereldvrede, zijn pleidooi voor een wereldregering en zijn strijd tegen menselijk onrecht. Vooral door de gruwelijkheden van de Tweede Wereldoorlog heeft zijn idee van wat goed en rechtvaardig is in daden gestalte gekregen. Al in 1933 schreef hij dat de vernietigingsoorlog tegen zijn weerloze joodse broeders hem gedwongen had de invloed die hij in de wereld zou hebben te hunnen gunste in de waagschaal te leggen. Vier jaar later, in 1937, relativeerde hij zijn wetenschappelijke inzichten als volgt:

 

 

"Onze tijd wordt gekenmerkt door prachtige prestaties op het gebied van wetenschappelijke kennis en de toepassing ervan in de techniek. Wie zou zich daarover niet verheugen? Toch mogen wij niet vergeten dat wij om een waardig en gelukkig leven te kunnen leiden er niet alleen komen met wat wij weten en kunnen. Er is voor de mensheid alle reden om aan verkondigers van hoge morele waarden een hogere plaats toe te kennen dan aan de ontdekkers van objectieve waarheid. Wat de mensheid aan personages als Boeddha, Mozes en Jezus te danken heeft schat ik hoger in dan alle prestaties van de onderzoekende en constructieve geest. De erfenis van deze begenadigden moeten we behoeden en met al onze kracht proberen levend te houden, als de mensheid haar waardigheid, bestaanszekerheid en levensvreugde niet verliezen wil." 13

 

In dit licht wordt duidelijk welke plaats Einstein zelf toekende aan zijn weg tot kennis. Hoe leerzaam de stappen van Einstein ook zijn in de wetenschappelijke wereld, voor het menselijk leven van alledag is het goede doen belangrijker. Waar hij in de moderne wetenschap het denken zo zuiver mogelijk stelde door van de zichtbare wereld te verwijzen naar de kenbare, wist hij, wellicht vanuit de Joodse traditie, dat er in het leven kennis is om te handelen. Woord en daad vallen dan samen. Dit was bij de wetenschappelijke inzichten van Einstein niet het geval. Einstein maakte zelf een duidelijk onderscheid tussen de mathematische God van het denken en de God van het Jodendom. Zo schreef hij in een brief uit 1953, als antwoord op de vraag van iemand wie hij toch bedoelde met 'Gott' in 'Gott wŁrfelt nicht':

 

 

"De uitdrukking dat God niet dobbelt slaat niet op Jahweh of Jupiter, maar op Spinoza's innerlijke God." 20

 

Voor de vraag of de weg tot kennis via mathematische concepten niet alleen in de wetenschappelijk wereld zinvol is, maar ook zou kunnen dienen als een voorbereiding tot de weg die naar kennis van het leven voert, zullen we ons licht proberen op te steken bij de mathematicus Brouwer.

 

 

 

6.Brouwer

 

Ook hier eerst enkele biografische feiten.

Bertus Brouwer

   Geboren op 27 februari 1881 te Overschie.

   Haalde op zijn veertiende jaar het HBS-b diploma. Eťn van de rapporten geven zijn genialiteit op vroege leeftijd weer: tienen voor alle vakken en een zes voor schrijven.

   Slaagde twee jaar later voor het gymnasium (α en Ŗ, inclusief Latijn en Grieks).

   Sloot op het dispuut Clio levenslange vriendschap met Carel Adama van Scheltema, de vertaler van Goethes Faust in het Nederlands.

   Las op zeventienjarige leeftijd in de Haarlemse Remonstrantenkerk een zelf opgestelde geloofsbelijdenis voor, waarin een sterke nadruk lag op persoonlijk denken en een kritische analyse van de westerse traditie.

   Gaf als student een voordracht over de vierdimensionale ruimte die hem een zekere roem bij studiegenoten en professoren bezorgde.

   Etaleerde als een tweede Da Costa zijn bezwaren tegen de geest en de praktijk van de moderne mens in Leven, Kunst en Mystiek. Frederik van Eeden was enthousiast over deze 'Delftse voordrachten'. Hij noemde ze 'Een machtig Brouwsel' en schreef er in De Groene (Amsterdammer) vijf lange artikelen over.

   Promoveerde in 1907 (net als zijn afstudeerwerk: cum laude) op De grondslagen van de wiskunde en was van 1909 tot aan zijn dood in 1966 professor aan de Universiteit van Amsterdam.

   Wordt ondanks de nationale onbekendheid, maar dankzij de internationale bekendheid zelfs door opponenten 'de grootste Nederlandse wiskundige sinds Huygens' en 'de grootste Nederlandse filosoof sinds Spinoza' genoemd.

   Heeft waarschijnlijk door middel van zijn voordrachten in Wenen Wittgenstein weer tot de filosofie bekeerd.

 

De opvatting van Brouwer verschilt van die van zijn opponenten, niet alleen in de wiskundige resultaten die behaald worden, maar vooral in de methode waarop men tot kennis komt. In zijn oratie van 1912 zegt Brouwer dat het nodig is het begrip 'wetenschap' duidelijk te maken om de ontwikkelingsgeschiedenis van de elkaar bestrijdende theorieŽn omtrent de grondslag van de wiskunde onder ogen te kunnen zien. Hij zegt:

 

 

"Onder wetenschap dan verstaat men het overzichtelijk catalogiseren door middel van natuurwetten van in de ervaringswereld opgemerkte causale verschijnselreeksen, d.w.z. verschijnselreeksen, die het voor individu of gemeenschap doelmatig blijkt, als identiek zich herhalend op te vatten, en wel in het bijzonder van die causale verschijnselreeksen, welke in de maatschappelijke verstandhouding een rol spelen." 7

 

Opvallend in deze definitie is de actieve houding van de wetenschapper. Hij bepaalt welke verschijnselreeksen doelmatig blijken te zijn, die worden door hem opgevat als herhalingen en gecatalogiseerd als natuurwet. Het zoeken naar een oorspronkelijke orde in de natuur uit onbaatzuchtige nieuwsgierigheid naar het wezen van de natuur behoort kennelijk niet meer tot de wetenschap van de moderne tijd. De mens schept zelf een orde. Brouwer:

 

 

"En dat de menschheid steeds en overal in de natuur orde schept, ligt hieraan, dat zij de causale verschijnselreeksen, waarmee zij werkt, niet alleen isoleert, d.w.z. van storende nevenverschijnselen tracht vrij te houden, doch ook tot bredere handelbaarheid completeert met door eigen ingrijpen veroorzaakte verschijnselen." 7

 

Aangezien de resultaten van tel- en meethandelingen een zo belangrijke plaats innemen, heeft een groot gedeelte van de door de wetenschap ingevoerde natuurwetten uitsluitend betrekking op de onderlinge samenhang van tel- en meethandelingen. Nu geldt in het algemeen dat natuurwetten waarin meetbare grootheden zijn opgenomen, niet bestand zijn tegen de steeds toenemende verfijning van de meetinstrumenten: ze gelden met een zekere graad van benadering. Een uitzondering hierop wordt gevormd door de practische reken- en meetkunde. Brouwer:

 

 

"Tot voor betrekkelijk korte tijd bestond er een vast vertrouwen, dat de exactheid der wetten van de reken- en meetkunde nimmer door enig experiment zou kunnen worden geloochenstraft, en het is dit vertrouwen, dat wordt uitgedrukt door de vereeniging dezer wetenschappen onder de naam wiskunde. Op welke gronden de overtuiging van de onaantastbare exactheid der wiskundige wetten berust, deze vraag maakt sinds eeuwen een punt van wijsgerig onderzoek uit, en er kunnen daarbij twee standpunten worden onderscheiden, het (vooral Fransche) intuitionisme en het (vooral Duitsche) formalisme." 7

 

Hoewel ze de laatste tijd beide stellen dat van een exacte geldigheid van de wiskundige wetten als natuurwetten geen sprake kan zijn, verschillen ze in de opvatting waarin die exactheid dan wel bestaat: de intuÔtionist zegt: in het menselijk intellect, de formalist: op het papier. Waar het intuÔtionisme van Kant met zijn apriorische tijd- en ruimteopvatting enorm verzwakt werd door de ontwikkeling van de niet-Euclidische meetkunde, herstelt Brouwer het intuÔtionisme door de aprioriteit van de ruimte prijs te geven, maar des te vastberadener vast te houden aan de aprioriteit van de tijd. Brouwer:

 

 

"Het oergebeuren in het menselijk intellect is het uiteenvallen van levensmomenten in qualitatief verschillende deelen, die alleen gescheiden door de tijd zich weer kunnen vereenigen en het oergebeuren in het wiskundig denken is het abstraheren van dit uiteenvallen van elke gevoelseenheid tot de intuitie van twee‑eenigheid zonder meer." 7

 

Uit de oerintuÔtie van de wiskunde, de intuÔtie van de twee‑enigheid, schept Brouwer niet alleen de getallen ťťn, twee en drie, waarmee hij zijn proefschrift begint, maar ook alle natuurlijke getallen en het oneindige getal dat aftelbaar is. Kronecker, een kritisch-constructivist, hield het hierbij. Zijn vermaarde opvatting was:

 

 

"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk."

 

Men kan evenwel eenvoudig aantonen dat ook negatieve gehele getallen toegelaten kunnen worden, omdat ze geconstrueerd kunnen worden in eenzelfde telling als bij de natuurlijke getallen. Ook breuken zijn toelaatbaar omdat het een uitvoerbare deling betreft van twee natuurlijke getallen. De grote verdienste van Brouwer op dit gebied van de wiskunde is het aantonen dat zelfs irrationale getallen, zoals ÷2, π, maar ook een willekeurige reeksontwikkeling van getallen achter de komma, opgebouwd kunnen worden met behulp van de natuurlijke getallen en wel door de invoering van zijn begrip 'keuzerij'. Hiermee was niet alleen de rekenkunde, maar ook de (n‑dimensionale) meetkunde, die sinds Descartes door middel van de cordinatenrekening terug te voeren is op de rekenkunde, gebaseerd op de intuÔtie van de twee‑enigheid. Voor de intuÔtionist is alleen datgene wat geconstrueerd kan worden op basis van de oer-intuÔtie betekenisvolle wiskunde.

 

Eťn van de consequenties van deze opvatting is dat het onzinnig is te spreken over iets dat groter is dan alle natuurlijke getallen bij elkaar. Een getal moet construeerbaar zijn, je moet het kunnen aftellen. Een getal kan uiteindelijk oneindig groot worden, maar groter dan aftelbaar oneindig bestaat niet. Men kan echter bewijzen dat bijvoorbeeld het aantal deelverzamelingen van de verzameling der natuurlijke getallen groter is dan aftelbaar oneindig. Deze verzameling van deelverzamelingen is dus niet te construeren en bestaat derhalve niet. Toch wordt deze verzameling een naampje gegeven en er wordt mee gerekend. Voor Cantor is er bijvoorbeeld geen verschil of iets werkelijk bestaat of niet. Zijn opvatting begint als volgt:

 

 

"Der Vorgang bei der correcten Bildung von Begriffen ist m.E. Łberall derselbe; man setzt ein eigenschaftsloses Ding, das zuerst nichts anderes ist, als ein Name oder ein Zeichen A und gibt demselben ordnungsmšssig verschiedene, selbst unendlich viele verstšndliche Pršdicate, ..." 9

 

In zijn proefschrift gaat Brouwer hier tegenin. Het gaat hem om datgene wat werkelijk bestaat in het leven van een mens. Je zou kunnen zeggen dat waar men in de zichtbare wereld onderscheid maakt tussen een zichtbaar deeltje en een onzichtbaar deeltje er in de kenbare wereld onderscheid gemaakt kan worden tussen een construeerbaar getal en een niet-construeerbaar getal. Het toevoegen van iets onwerkelijks (een onzichtbaar anti-deeltje of een niet-construeerbaar overaftelbaar oneindig groot getal) levert soms wel resultaten op die mooier zijn dan wanneer je je beperkt tot het werkelijke. Brouwer was zich hiervan bewust:

 

 

"In het algemeen doet het intuÔtionisme de wiskunde een algehele omwerking ondergaan, een omwerking waarbij zij helaas op vele plaatsen haar soepele en elegante karakter moet verliezen, en in veel stroever, gewrongener en ingewikkelder vorm heeft te treden. Doch de sferen der waarheid zijn nu eenmaal minder permeabel dan die der illusie." 23

 

Liever dan het scheppen van een eigen orde, hield Brouwer zich nauwgezet aan de gegeven orde. Wanneer een stelling bewezen moest worden diende men met behulp van een daadwerkelijke constructie de waarheid ervan aan te tonen. Bij de stelling 'de eerste tien natuurlijke getallen zijn kleiner dan twintig' kan men tien keer een telling doen waarbij steeds duidelijk moet worden of men door moet tellen om tot twintig te geraken. Is dit steeds het geval dan is de stelling door haar constructie waar gebleken. Nu is het niet steeds nodig alle betreffende waarden na te gaan. De orde der natuurlijke getallen geeft de mogelijkheid om het aftelbaar oneindige ineens te overzien met behulp van de volledige inductie. Het toepassen van dit principe op overaftelbare verzamelingen gaat echter buiten de gegeven orde. Wanneer dit toch geschiedt, is men bezig met het benoemen van iets onwerkelijks. Liever dan het geven van nieuwe namen en begrippen die niet gedekt worden door een inhoud, gebruikte Brouwer de taal slechts wanneer deze vastheid ontleent aan de wil of intentie die erin wordt uitgedrukt. Zo leze men in de formule 13=7+6 de herinnering aan het inpassen van een groep bestaande uit de gecombineerde positie van een groep waarlangs men tot 6 en een waarlangs men tot 7 kan tellen in een groep waarlangs men tot 13 kan tellen. Het scheppen van een taalgebouw, dat nooit in de eigenlijke wiskunde kan worden overgevoerd is de fout van de logistiek. Wiskunde is een geestelijk bouwproces en geen formeel spel met symbolen. Brouwer:

 

 

"Bij de opbouw der verzamelingen kan noch de gewone, noch eenige symbolische taal een andere functie vervullen, dan die van een onwiskundig hulpmiddel, om het wiskundig geheugen te ondersteunen of om door meerdere individuen dezelfde wiskundige verzameling te doen opbouwen." 7

 

Aangezien de logica een symbolische taal is waarin het wiskundig handelen wordt beschreven is zij van een tweede orde. Dat betekent, dat het uitsluiten van een logische tegenstrijdigheid geen garantie is voor het wiskundig bestaan van iets. Op verschillende wijze werkt Brouwer dit uit.

In de eerste plaats in zijn strijd tegen de formalisten en logistici. Zij proberen een minimaal stelsel axioma's zodanig te formuleren, dat de stellingen uit de reken- en meetkunde er uit af te leiden zijn, terwijl ze geen tegenstrijdigheden mogen opleveren. Brouwer stelt dat op logische wijze afgeleide conclusies geen betekenis bezitten op grond van die logische afleiding. Hierin komt een belangrijk verschil met Einstein naar voren. Beide stellen dat de wiskunde een vrije schepping is van de menselijke geest, onafhankelijk van de ervaring of waarneming. Bij Einstein is deze schepping echter niet inhoudelijk gefundeerd. In Geometrie und Erfahrung schrijft Einstein:

 

 

"Voor zover de wiskundige stellingen naar de realiteit verwijzen, zijn ze niet zeker, en voor zover ze zeker zijn verwijzen ze niet naar de realiteit. [...] De vooruitgang als gevolg van axiomatiseren bestaat in de scherpe scheiding van de logische vorm en de realistische en intuÔtieve inhoud. [...] De axioma's zijn vrijwillige scheppingen van de menselijke geest. [...] Aan deze interpretatie van de meetkunde hecht ik groot belang omdat als ik er niet mee bekend was geweest, ik nooit in staat zou zijn geweest de relativiteitstheorie te ontwikkelen." 15

 

Omdat de band met de intuÔtie en met het daarop voortbouwende proces in de menselijke geest is losgelaten, is men verplicht de resultaten van de logische afleidingen te toetsen aan de ervaring. In zijn proefschrift zegt Brouwer:

 

 

"Een analoge overschatting van de logica is het idee van Aristoteles en de scholastici (dat nog sterk bij Spinoza en in mindere mate bij Kant nawerkt, en waaraan de philosophie eerst in de 19e eeuw ontgroeid schijnt te zijn), dat men niet apriori duidelijke geheimen der natuur door logica zou kunnen ontdekken, terwijl in werkelijkheid de conclusies waartoe men zo geraakt, niet voor de natuur zelf, maar alleen voor het in willekeur daarop geprojecteerde wiskundige systeem geldt. (Een wiskundig systeem, waarvan dan slechts een deel het direct doorleefde dekt, terwijl het overige een uitbreiding door inductie daarvan is.) Dat die conclusies ook voor de natuur juist zijn (d.w.z. als leidraad voor het menselijk handelen doel treffen), dient voor elke conclusie opnieuw geverifieerd (en elke verifieering door wiskundige inductie aangevuld). Zulk een verifieering is noodig, hoe juist de gebruikte praemissen ook waren, zoo goed als van een physische hypothese, hoe bruikbaar ook tot nog toe gebleken, elke nieuwe consequentie uitdrukkelijk dient gecontrŰleerd te worden." 9

 

Op een andere plaats wordt niet de zwakte van de logisch afgeleide uitspraken over de natuur, maar een aantal logische principes zelf ter discussie gesteld. In het artikel De onbetrouwbaarheid der logische principes stelt Brouwer de geldigheid van bijvoorbeeld het door Aristoteles geformuleerde logische principe van 'de uitgesloten derde' ter discussie.6 Een eenvoudige verwoording van dit principe luidt: "Elke hypothese is Úf juist, Úf onjuist" Een derde weg is er niet. Brouwer vraagt zich af of dit zeer veel toegepaste principe zelf wel juist is. Als het juist is, dan zijn alle wiskundige problemen oplosbaar. Dat laatste is te bewijzen wanneer alle problemen op dezelfde wijze geordend kunnen worden als de natuurlijke getallen, terwijl je vervolgens bewijst dat het principe geldt voor een willekeurig probleem. Het aantal wiskundige problemen is echter groter dan de natuurlijke getallen bij elkaar. Zelfs met volledige inductie is deze groep niet te overzien. Het principe is daarmee niet methodisch te onderzoeken en dus onbetrouwbaar.

 

Als derde en laatste wijze waarop de logica op haar plaats wordt gezet, stelt Brouwer de resultaten van een logica die zich heeft verzelfstandigd ten opzicht van de intuÔtieve wiskunde aan de kaak.9 Wanneer de logica spreekt over 'Alle ...' en zich niet realiseert dat het dan gaat over 'Alle construeerbare ...' dan heeft zij het over een hersenschimmig alles, dat in werkelijkheid onkenbaar is. Ook het optreden van paradoxen is een typisch verschijnsel wanneer men de vastheid van de inhoud heeft losgelaten en op het terrein van de van de vormen zaken gaat veronderstellen. Neem als voorbeeld de kapperparadox van Russell: Stel, er is een eiland. Op dat eiland is er een man, de kapper, en die scheert alle mannen die zichzelf niet scheren. Vraag: scheert die man, de kapper, zichzelf? Als hij zich inderdaad zelf scheert, dan wordt hij niet door de kapper, hemzelf in dit geval, geschoren. Dat levert een tegenstrijdigheid op. Wie nu het bewijs uit het ongerijmde zou gebruiken en zou concluderen dat het tegendeel dus waar is, komt bedrogen uit: Als de kapper zich zelf niet scheert, is hij ťťn van de mannen die zich niet scheren en wordt hij dus door de kapper geschoren. Alweer een tegenstrijdigheid. Voor iemand die de logica echter ziet als iets van een tweede orde, waar de intuÔtieve wiskunde de eerste is, heeft geen probleem. Zodra hij 'alle ...' tegenkomt wil hij na kunnen tellen wat men precies bedoelt. Wanneer hij in de formulering van de paradox de zinsnede 'alle mannen die zichzelf niet scheren' tegenkomt moet hij dus bepalen of de kapper er bij zit of niet. Afhankelijk van die keuze wordt de vraag beantwoordt door de keuze zelf. Men construeert en heeft daarmee reeds het antwoord.

Willen we de betekenis van Brouwer voor de wiskunde peilen, dan zouden we op z'n minst de topologie, waar hij de vader van geworden is, moeten bespreken. In dit artikel wordt echter slechts de concrete betekenis van Brouwers denken voor de eeuwenoude ontwikkeling van de weg tot inzicht aangestipt.

 

 

Net zomin de verschillen tussen nominalisten en realisten of tussen instrumentalisten en essentialisten recht gedaan worden zonder de gedrevenheid van hen die deze opvattingen huldigen te duiden, kan ook het verschil tussen formalisten en intuÔtionisten niet beschouwd worden zonder een geestelijke dimensie. Het gaat bovendien niet om vrijblijvende uiteenzettingen van opvattingen, maar om weloverwogen keuzes die steeds weer gemaakt moeten worden.

Nemen we als vertegenwoordiger van het formalisme, de persoonlijke opponent van Brouwer, David Hilbert, dan blijkt uit zijn woorden en daden een duidelijke gerichtheid op macht. Van elk een typerend voorbeeld. Als reactie op het aangeven van de onbetrouwbaarheid van het principe van de uitgesloten derde, riep Hilbert uit:

 

 

"Je kunt een bokser net zo goed zijn handschoenen, of een astronoom zijn kijker afnemen als een wiskundige het principe van de uitgesloten derde."

 

Niet het sluiten van een weg tot inzicht, maar het ontnemen van een instrument was voor Hilbert blijkbaar het belangrijkste. Verder heeft Hilbert toen hij zijn einde zag naderen en in bezorgdheid dat na zijn dood mederedacteur Brouwer de leiding van het gezaghebbende tijdschrift Mathematische Annalen zou overnemen, Brouwer per brief ontslagen. Einstein, die eveneens redactielid was, zag dat het een machtsstrijd betrof en betitelde de strijd als een 'kikker‑en‑muis oorlog'.

 

Van Brouwer, als vertegenwoordiger van de intuÔtionisten, is meer bekend over zijn diepste motieven, hoewel er weinig wiskundigen in geslaagd zijn de betekenis hiervan in te zien voor de intuÔtieve weg tot kennis in het algemeen en voor Brouwers gedachten in het bijzonder. In het navolgende wordt geciteerd uit Leven, Kunst en Mystiek, een verslag van vier lezingen die Brouwer in Delft had gegeven en waar Frederik van Eeden als auteur van De kleine Johannes, over schreef:

 

 

"Mijn aanval is, in overeenstemming met mijn van Brouwers afwijkend temperament, voorzichtig en zachtzinniger. Maar, naar ik meen, niet minder doeltreffend. Dokter Cijfer en Pluizer zijn de twee representanten van dezelfde satanische machten, natuurwetenschap en intellect, die de mensheid onder hun tirannie ten verderve voeren." 10

 

Dan nu Brouwer. Het was hem te doen om een zuivering van het leven. Net als bij Einstein was het Goede hoger dan het Schone. Waar bij Einstein slechts het Schone richtend was in de wiskunde, zag Brouwer het leren van de wiskunde als een mogelijkheid om een zuivere levenshouding te verkrijgen. Bij Brouwer moest het schone in het hoofd voortkomen uit het goede van het hart. In zijn oratie spreekt hij de studenten in de wiskunde aan met de volgende woorden:

 

 

"De inzichten, die Gij in de jaren, waarin Gij op eigen verantwoording den moreelen koers van Uw leven hebt te bepalen, verkrijgen kunt door dieper in het wezen van Uw studievak door te dringen, zullen U tegenover wijsgerige en úkonomische stroomingen kritischer doen staan, en zoo Uw levensbeschouwing zuiverder en oorspronkelijker houden. En hetzij Gij ten slotte het intellect als richter Uwer daden zult aanvaarden of verwerpen, Uw vak zult Gij even geestdriftig kunnen blijven beoefenen, in het eerste geval U wijdend aan die constructies, die als skelet der wetenschap de dragers zijn der menschelijke cultuur, in het tweede geval U terugtrekkend in die theorieŽn, die juist aan hare onvatbaarheid voor eenige toepassing op de ervaringswereld een deel harer bekoring ontlenen." 12

 

En in een interview zegt hij van zichzelf:

 

 

"Werkelijk houden van de wiskunde doe ik om iets anders dan de wiskunde, namelijk om het heldere licht dat ze soms werpt op algemene levensvragen. En het zijn tenslotte de levensvragen, waardoor mijn natuurlijke gedachtenstroom in de eerste plaats zijn weg zoekt." 23

 

De weg tot inzicht is fundamenteel voor een mens. Deze weg gaat echter verder dan de weg tot de aanschouwing van het Schone in de wiskunde. De wiskunde is wel belangrijk om te leren dat iets pas zinvol is wanneer het terug te voeren is op ťťn beginsel. Bij Pythagoras (Ī 580 v.Chr.) was dit streven om de tegenstellingen in de natuur (bijvoorbeeld warm en koud en alles wat daar tussen zit) door middel van een eenheid haar plaats te wijzen, een religieuze handeling. Het was een verheffing van de veelheid tot een harmonieuze eenheid. Zo kunnen de hoge en lage noten in een harmonie worden samengebracht. Ze krijgen zin door ze terug te voeren naar een oorspronkelijke eenheid, 'de scheppende Monas'. Pythagoras leerde:

 

 

"Het doel van het menselijk leven bestaat hierin, dat de mens de harmonie, die in de kosmos heerst, ook in zijn binnenste leert verwerkelijken. Wie dat doel bereikt, behoeft na de dood niet meer opnieuw geboren te worden, maar stijgt op naar de hemel der goden." 24

 

Door een strenge ascetische levenswijze met meditatie en muziek moesten de leerlingen tot dit doel worden opgevoed. Het streven van Brouwer om een wiskundige tweeheid terug te voeren naar de allereerste eenheid, is in het licht van deze traditie een religieuze handeling. Dat hij de wiskunde inderdaad zag in het licht van de weg tot inzicht in het wezenlijke van het leven blijkt wel het meest uit zijn voornemen om het motto dat Plato boven zijn school der opvoeding had laten aanbrengen: Ουδειςαγεoμετρικoςεισιτω, zonder geometrie trede niemand binnen, als motto te gebruiken voor zijn proefschrift Over de waarde van de wiskunde.10 Hoe een goede levenswijze is te leren in de huidige tijd, en hoe zij wordt bemoeilijkt door de gangbare methode der wetenschap wordt door Brouwer weliswaar in het Nederlands beschreven,8 maar het verstaan ervan is moeilijk; het samenvatten onmogelijk. Het uitvoerig citeren uit Leven, Kunst en Mystiek is slechts bedoeld als een aanzet om het geheel te ontsluieren.

In het eerste deel over 'de droeve wereld' citeert hij Meister Eckhart.

 

 

"Wenn alle Bilder der Seele abgeschieden werden und sie allein das Eine schaut, so findet das nackte formlose Wesen gŲttlicher Einheit, das da ist ein Łberwesendes Wesen, empfangend in sich selbst liegend."

 

Vervolgens gaat het over 'de Zelfinkeering'. In plaats van het verbinden van elk van de dolende fantazieŽn met het Zelf, worden ze door het intellect met elkaar verbonden. In 'de val van het Intellect' schrijft hij:

 

 

"...de wetenschap, die in en over de aanschouwingswereld generalizerende stellingen opwerpt; die zullen uitkomen, zolang God behaagt, maar dŠn gelogenstraft, en: 'O ja, we hadden die en die stilzwijgende onderstelling gemaakt,' zoo roepen de menschen, en gaan de stelling compliceeren en zoogenaamd verbeteren, maar even machteloos. En 't blijft niet bij een wetenschap in dienst der industrie; het middel wordt weer zelfstandig doel; men gaat er om haarszelfs wil aan doen. DŠn is het zoover gekomen met de afdwaling van het lichaamsgevoel, dat het uitsluitend is geconcentreerd in 't hoofd; uŪtsluitend is de rest van 't lichaam genegeerd. Waarmee samenloopt de vastheid in het bestaan van een eigen individu, en van een daarvan gescheiden en onafhankelijke aanschouwingswereld. [...] Vervolgens gaat men de 'grondslagen' dier wetenschap zoeken, wat dra een nieuwe wetenschap wordt; men gaat de grondslagen der wetenschap in 't algemeen zoeken, beoefent 'kennistheorie', maar steeds klimt de verlegenheid, tot alle koppen omlopen. [...] Dat van de wetenschap, de laatste bloem en verstarring der cultuur." [...]

 

Hierna volgt een deel over 'de Verzoening' en een over 'de Taal'. Daarna worden de manifestaties van het Zelf in het gewone leven, beschreven als doorbrekingen van de Waarheid die overal en altijd in de lucht hangt. Hij maakt daarbij onderscheid tussen een immanente en een transcendente Waarheid.

 

 

"Wijst de Waarheid in de wereld op 't voldongen karma van die wereld, wijzend in al het gegeven begeertebewegen de Eeuwige Gerechtigheid, en wijzend als van zelf sprekend de botsing der tegenstrijdige en nooit te verzoenen belangen, en weg wijzend daarbij van alle uiterlijkheden, dat zijn aspecten uit eigen gevangen begeerte, dan is ze Immanente Waarheid. Wijst de Waarheid in de wereld naar het persoonlijke leven, vrij uit de banden van vrees en begeerte, waar de zaligheid en wijsheid en de stille jubelingen van de Zelfinkeering bloeien op nederigheid, armoede, en rustige plichtsvervulling in het aardsche leven, dat eigen voldongen karma is, dan is ze Transcendente Waarheid. De immanente waarheid verheldert, de transcendente waarheid vervroomt.

 

De immanente waarheid ziet als het ware de 'idee' van de wereld. Ze zal van uit het gezichtspunt van de zogenaamde 'werkelijkheid' leugenachtig overkomen. In de wetenschap breken inzichten als immanente waarheid door. Brouwer in het deel over 'de Immanente Waarheid':

 

 

"Daarin verplaatst de doorbrekende Waarheid steeds het zwaartepunt weer terug van het aanschouwde naar den aanschouwer toe: Kopernicus bracht de draaiing der hemellichamen naar de aarde: ze zal nog in het eigen lichaam worden geplaatst. Kant zette in plaats van het onderzoek der eigenschappen van de dingen de bewustwording van de cathegorieŽn in eigen hoofd. Positieve quantitatieve eigenschappen worden steeds weer vervangen door polaire, zoo in de nieuwere theorieŽn over electriciteit en licht. Trots de kleurentheorie van Newton, die de lichtstralen in het medium ontbond, gingen Goethe en Schopenhauer, meer gevoelig voor de Waarheid, de kleuren beschouwen als polaire splitsing van de activiteit van het oog. Dat alles helpt natuurlijk niets: het laat de wereld even dom; het is geen Zelfinkeering, geen inkeering tot vrije waarheid, maar het optreden van de Waarheid in de vormen der Dwaasheid." [...]

 

In de hierop volgende delen van 'de Transcendente Waarheid' en 'het bevrijde Leven' wordt de hereniging van de wereld met het Zelf geschetst. De beknopte stijl van Brouwer en het veelvuldig citeren van anderen maken het verkort of gedeeltelijk weergeven van deze delen weinig zinvol. Het geheel van de voordrachten wordt afgesloten met een deel over de economie, 'iets waarvan het vrije leven zich zorgvuldig smetteloos houdt, aangezien het er niet zou zijn, wanneer liefde en broederschap regeerden'.

 

 

 

7.Uitleiding

 

Wanneer we door de bestudering van de wortels van onze cultuur een vermoeden krijgen hoe de weg tot kennis leidde tot een openbaring van het zijn, kan de vraag boven komen of de moderne wetenschap met haar concentratie op de formule waarin het zijnde moet worden gemodelleerd, nog de mogelijkheid biedt tot een verstaan het wezen van de dingen zelf. De moeilijkheid daarbij is dat we geoefend worden in het toekennen van een bepaalde mate van waarschijnlijkheid aan de geldigheid van een gegeneraliseerde uitspraak.

 

Een eerste stap naar het vernemen van het Zijn, betreft het relativeren van de oppervlakkige waarneming door, hetzij op een platoonse wijze werkelijkheden bewust te worden die voor de vijf zintuigen onbereikbaar zijn, hetzij op aristotelische wijze de dingen zelf te laten spreken en zo meer in de dingen te gaan zien dan er in eerste instantie aan te zien is. Het is aan Einstein te danken dat hij als groot natuurkundige van deze eeuw de weg heeft gewezen van de waarneming der dingen naar een kennis van de werkelijkheid die niet uit de waarneming afleidbaar is, maar op andere wijze duidelijk wordt.

Een volgende stap betreft het meer en meer loskoppelen van het op deze wijzen verkregen inzicht van de uiterlijke machtsstructuren. Het inzicht in de natuur dat energie en materie onder bepaalde voorwaarden in elkaar kunnen overgaan, kan anders nog steeds worden gebruikt om een vernietigende kernbom te maken.

 

Omdat het in alles gaat om een diepe betrekking met datgene wat men wil leren kennen, dient elke illusie vermeden te worden. Om er zeker van te zijn dat men zich niet met illusies bezig houdt, moet er een scherp onderscheid gemaakt worden tussen datgene wat gegeven wordt en dat wat verzonnen wordt. In de wiskunde kan een dergelijk onderscheidingsvermogen geoefend worden, door zich slechts met datgene bezig te houden, dat terug te leiden is naar gegeven tweeheden, die op hun beurt door middel van de intuÔtie der twee-enigheid, naar de ťťn als scheppende oorsprong te voeren zijn. Andersom, wil men beginnen bij de ťťn, die in het leven in een tweeheid uiteenvalt, waardoor de bepaling van drie ontstaat en zo verder, dan kan men zich oefenen door op deze wijze de wiskunde op te bouwen. Het is aan Brouwer te danken dat hij als groot wiskundige van deze eeuw dit pad gebaand heeft.

 

Wanneer op deze wijze de waarneming van de mensen en dingen weer een ontmoeting wordt, doordat ze ontvankelijk gemaakt wordt voor openbaringen van inzichten die het leven richting geven, dan zal het formuleren van een nieuw wereldbeeld niet meer noodzakelijk blijken te zijn. Liever dan het met elkaar verbinden van datgene wat in het leven gegeven wordt in een zelf verzonnen wereldbeeld, poogt men dan elk gegeven zelf te verbinden met het oorspronkelijk Zijn.

 

[1]†† Aristoteles, Analytica priora en Analytica posteriora, vertaling in het Engels onder redactie van W.D. Ross, Oxford vanaf 1928, nr. 88a15, 81b en 67a23.

[2]†† Aristoteles, Topica, vertaling in het Engels onder redactie van W.D. Ross, Oxford vanaf 1928, nr. 101.

[3]†† Aristoteles, Metafysica, vertaling in het Engels onder redactie van W.D. Ross, Oxford vanaf 1928, nr. 1040a en b.

[4]†† Barendregt, H.P., Grondslagen van de informatica, rede uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt van gewoon hoogleraar in de informatica, Katholieke Universiteit te Nijmegen 1987.

[5]†† Beukel, A. van den, De dingen hebben hun geheim, gedachten over natuurkunde, mens en God, Baarn 1990, blz. 43 en 180.

[6]†† Brouwer, L.E.J., De onbetrouwbaarheid der logische principes, in Tijdschrift voor Wijsbegeerte, tweede jaargang, blz. 152-158.

[7]†† Brouwer, L.E.J., IntuÔtionisme en formalisme, rede bij de aanvaarding van het ambt van buitengewoon hoogleeraar in de wiskunde aan de universiteit van Amsterdam op maandag 14 october 1912. (Met [6] en de rede uit 1909 Het wezen der meetkunde zijn deze drie geschriften gepubliceerd als: Brouwer, L.E.J., Wiskunde, waarheid, werkelijkheid, Groningen 1919).

[8]†† Brouwer, L.E.J., Leven, Kunst en Mystiek, Delft 1905.

[9]†† Brouwer, L.E.J., Over de grondslagen der wiskunde, proefschrift, Amsterdam 1907,

†††††† blz. 135, 160 e.v.

[10] Brouwer, L.E.J. en C.S. Adama van Scheltema, Droeve snaar, vriend van mij, Brieven met biografische schets van D. van Dalen, Amsterdam 1984, blz. 156 en 52.

[11] Capra, F., De Tao van fysica, een onderzoek naar de parallellen tussen de moderne fysica en oosterse mystiek, Amsterdam 1988.

[12] Davies, P., God in de nieuwe natuurkunde, Utrecht-Antwerpen 1985, blz. 120, 258 en 31.

[13] Dukas, H. en B. Hoffmann, Hoogachtend, Albert Einstein, Brieven van Einstein over God, muziek, Hitler, liefde, doodstraf en jood-zijn, Amsterdam 1979, blz. 71-75.

[14] Einstein, A., Autobiographical notions, 1949 in Albert Einstein: Philosopher Scientist,

†††††† New York 1957.

[15] Einstein, A., Geometrie und Erfahrung, Berlijn 1921, geciteerd in [29].

[16] Einstein, A., Mijn kijk op het leven, Amsterdam 1934, De eerste verzameling bijdragen van Einstein van 1922 tot 1934, blz. 172, 168, 169 en 164.

[17] Einstein, A., Out of my later years, New York 1950. De tweede verzameling bijdragen van Einstein van 1934 tot 1950, blz. 64.

[18] Heidegger, M., De tijd van het wereldbeeld, Bussum 1983, blz. 108.

[19] Heidegger, M., Platon: Sophistes, Vorlesungen 1919-1944, Frankfurt am Main, band 19, blz. 100.

[20] Hoffmann, B. en H.Dukas, Albert Einstein, 's-Gravenhage 1985, blz. 153 en 206.

[21] Klever, W.N.A., ΑΝΑΜΝΗΣIΣ en ΑΝΑΓΩΓΗ, Gesprek met Plato en Aristoteles over het menselijk kennen, proefschrift in de letteren, Assen 1962, blz. 93 e.v.

[22] Kouznetsov, B., Einstein, zijn leven, zijn denken, zijn theorieŽn, Mechelen 1986,

†††††† blz. 92, 99 en 101.

[23] Krol, G., Het IntuÔtionisme, in Vrij Nederland, 21 februari 1981.

[24] Os, C.H. van, Getal en Kosmos, Wiskunde en Wereldbeschouwing, Amsterdam 1947,

†††††† blz. 22.

[25] Plato, Politeia, vertaling in het Nederlands door Xaveer de Win, Haarlem 1962,

†††††† blz. 504 e.v.

[26] Popper, K., Conjectures and Refutations, New York 1963, hoofdstuk 3, blz. 115.

[27] Russell, B., Geschiedenis der Westerse Filosofie, Katwijk aan Zee 1984, eerste druk: 1946, blz. 395.

[28] Stigt, W.P. van, Brouwer's Intuitionism, Studies in the History and Philosophy of Mathematics, Volume 2, Amsterdam 1990, voorwoord.

[29] Swart, H.C.M. de, Filosofie van de wiskunde, Leiden 1989, blz. 44.

 

 

Voor de griekse teksten van Plato en Aristoteles is gebruik gemaakt van de 'Griechisch-deutsche Parallelausgaben' van Felix Meiner Verlag - Hamburg.

Beth, E.W., Inleiding tot de wijsbegeerte der wiskunde, Nijmegen-Utrecht 1940.

Dalen, D. van, Brouwer's Cambridge lectures on intuitionism, Cambridge 1981.

Dalen, D. van, Filosofische grondslagen van de wiskunde, Assen 1978.

Dalen, D. van, Over L.E.J. Brouwer, in Erflaters van de twintigste eeuw, Amsterdam 1991,

blz. 231-263.

Einstein, A., Ideas and opinions, New York 1985, een bundeling van de belangrijkste reeds gepubliceerde en enkele ongepubliceerde geschriften .

Hulst, H.C. van de en C.A. van Peursen, Phaenomenologie en natuurwetenschap, Bezinning op het wereldbeeld, Utrecht 1953.

Meyer, H., Kennis en Realiteit, Utrecht 1949.

Ovink, B.J.H., Overzicht der Grieksche Wijsbegeerte, Zutphen 1925, derde druk.

Pais, A., Subtle is the Lord, The Science and the Life of Albert Einstein, Oxford 1982.

Schilfgaarde, P. van, De logika van Aristoteles, Den Haag 1944.